é¢ãå¤ãããªããã ããåä½ã®å åã¯ä¸è¬ååã«å ¥ããªãã¦ããã \end{eqnarray} $$今回の記事では、台車型倒立振子の運動エネルギーと位置エネルギーをラグランジュ方程式に代入することで、運動方程式を求める方法を紹介しました。$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial}{\partial \dot{\theta}} KE \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} PE = 0 $$$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \left( M + m \right) \ddot{x} + \frac{1}{2} m L \cos (\theta) \ddot{\theta} -\frac{1}{2} m L \sin (\theta) \dot{\theta}^2 = u \\ \frac{1}{2} m L \cos (\theta) \ddot{x} – \frac{1}{2} m L \sin (\theta) \dot{x} \dot{\theta} + \frac{1}{3} m L^2 \ddot{\theta} – \frac{1}{2} m g L \sin (\theta) = 0 \end{array} \right. !!"""
3.2. %""!""" 3.2.3 例：直線に拘束された質点 y = ℓ0 の上を滑らかに滑る質点の問題を考えよう。x-y 平面上にy = ℓ0 の直 線がある。質量mの質点がこの直線上を滑らかに（摩擦なしで）動く。バネ定数 $$ \begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial \dot{x}} KE &=& \frac{\partial}{\partial \dot{x}} \left( \frac{1}{2} M \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m \left[ \dot{x}^2 + L \cos (\theta) \dot{x} \dot{\theta} + \frac{L^2}{4} \dot{\theta}^2 \right] + \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{12} m L^2 \right] \dot{\theta}^2 \right) \\ &=& M \dot{x} + m \dot{x} + \frac{1}{2} m L \cos (\theta) \dot{\theta} \end{eqnarray} $$$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \cos (\theta) \approx 1 \\ \sin (\theta) \approx \theta \end{array} \right. 3.2.3 例：直線に拘束された質点 y = ℓ0 の上を滑らかに滑る質点の問題を考えよう。x-y 平面上にy = ℓ0 の直 線がある。質量mの質点がこの直線上を滑らかに（摩擦なしで）動く。バネ定数
このラグランジュ方程式に各エネルギーの値を代入して解いていきます。$$ PE = {PE}_1 + {PE}_2 + {PE}_3 $$$$ m_1 \ddot{x}_1(t) + \left(k_1 + k_2\right) x_1(t) – k_2 x_2(t) = 0 $$$$ \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ddot{x_1} \\ \ddot{x_2} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} k_1+k_2 & -k_2 \\ -k_2 & k_2+k_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$$$ {PE}_2 = \frac{1}{2} k_2 \left(x_2 – x_1\right)^2 $$システム内に質量が２つありますが、質量が1つの場合と同様に、ラグランジュ方程式を用いて運動方程式を求めていきます。複数の質量からなるモデルを用いて、このシステムの振動を算出する方法を紹介します。$$ {PE}_1 = \frac{1}{2} k_1 {x_1}^2 $$$$ {KE}_2 = \frac{1}{2} m_2 {\dot{x}_2}^2 $$$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} m_1 \ddot{x}_1(t) + \left(k_1 + k_2\right) x_1(t) – k_2 x_2(t) = 0 \\ m_2 \ddot{x}_2(t) – k_2 x_1(t)+ \left(k_2 + k_3\right) x_2(t) = 0 \end{array} \right. \end{eqnarray} $$$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial}{\partial \dot{x}_1} \left(\frac{1}{2} m_1 {\dot{x}_1}^2 + \frac{1}{2} m_2 {\dot{x}_2}^2\right) \right) $$$$ {KE}_1 = \frac{1}{2} m_1 {\dot{x}_1}^2 $$ラグランジュ方程式を用いて運動方程式を求めるために、システムの運動エネルギーと位置エネルギーを求めていきます。$$ + \frac{\partial}{\partial x_1} \left(\frac{1}{2} k_1 {x_1}^2 + \frac{1}{2} k_2 \left(x_2 – x_1\right)^2 + \frac{1}{2} k_3 {x_2}^2\right) = 0$$$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial}{\partial \dot{x}_i} KE \right) + \frac{\partial}{\partial x_i} PE = 0$$$$ {PE}_3 = \frac{1}{2} k_3 {x_2}^2 $$$$ = \frac{1}{2} k_1 {x_1}^2 + \frac{1}{2} k_2 \left(x_2 – x_1\right)^2 + \frac{1}{2} k_3 {x_2}^2 $$$$ = \frac{1}{2} m_1 {\dot{x}_1}^2 + \frac{1}{2} m_2 {\dot{x}_2}^2 $$$$ m_2 \ddot{x}_2(t) – k_2 x_1(t)+ \left(k_2 + k_3\right) x_2(t) = 0 $$$$ \Rightarrow m_1 \ddot{x}_1(t) + k_1 x_1(t) – k_2 \left(x_2 – x_1\right) = 0 $$今回は、2質量モデルを例にシステムの運動（振動）を算出する方法を紹介しました。 \end{eqnarray} $$ 14 Lagrangeの運動方程式 14.1 一般化座標とLagrange の運動方程式 ある力学系の配置(位置) を表すのにn 個の座標(q1;q2;q3;¢¢¢;qn) が必要である時、n は系の 自由度と呼ばれる。1 個の質点の自由度は3 であり、距離が一定に保持された2 質点の自由度は5 である。 %""!"""
ラグランジュの方程式の利点.
\end{eqnarray} $$この非線形なシステムの取り扱いを簡単にするために、運動方程式を線形化する方法を紹介します。$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial}{\partial \dot{x}} KE \right) + \frac{\partial}{\partial x} PE = F $$この運動方程式を、前回求めた運動エネルギーと位置エネルギーからラグランジュ方程式を用いて実際に算出していきます。$$ \begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial \dot{\theta}} KE &=& \frac{\partial}{\partial \dot{\theta}} \left( \frac{1}{2} M \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m \left[ \dot{x}^2 + L \cos (\theta) \dot{x} \dot{\theta} + \frac{L^2}{4} \dot{\theta}^2 \right] + \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{12} m L^2 \right] \dot{\theta}^2 \right) \\ &=& \frac{1}{2} m L \cos (\theta) \dot{x} + m \frac{L^2}{4} \dot{\theta} + \frac{1}{12} m L^2 \dot{\theta} \end{eqnarray} $$$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial}{\partial \dot{x}} KE \right) + \frac{\partial}{\partial x} PE = u \\ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial}{\partial \dot{\theta}} KE \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} PE = 0 \end{array} \right.
2質量モデル. ラグランジュ方程式を用いた運動方程式の導出 2-1 ばねにつながれた質点 図2-1に示したようなばねにつながれた質点の運動方程式を求めよ。ばねはフックの法則に従い、摩擦はないものとする。解答> 図2-1 ばねにつながれた質点 2-2 重力を受けたばねと質点 ラグランジュの運動方程式 6!"#"""$""! "" 0.2.1 質点系の運動方程式 質点が多数集まって運動している場合を考える．質点の集まりを「質点系」と呼ぶ．一般に N 個の質点か らなる系の運動を記述するためには3 N 個の変数が必要となる．